Výpočty a výsledky
Magnetostatika
Katedra aplikované matematiky ve spolupráci s Institutem fyziky VŠB-TU Ostrava vyvíjí elektromagnety pro měření magneto-optických jevů na tenkých vrstvách. Tento výzkum slouží pro vývoj nových materiálů pro magnetické a optické disky s vysokou hustotou záznamu. Klíčovým matematickým problémem je spočítat prostorové rozložení magnetického pole elektromagnetu. To se modeluje Maxwellovými rovnicemi ve 3 prostorových dimenzích a užití tzv. metody konečných prvků vede na řešení soustavy lineárních rovnic. Počet rovnic je úměrný řádu přesnosti řešení, což jsou pro potřeby naší úlohy miliony. Takto rozsáhlé soustavy řešené na 1 počítači vyžadují použití moderních algoritmů s lineární (neboli optimální) výpočetní složitostí, což znamená, že výpočetní čas i velikost použité paměti jsou přímo úměrné počtu neznámých. Použitá metoda, tzv. multigrid, která je založena na řešení hierarchie soustav s postupně se zvyšující přesností a tedy i počtem neznámých, vykázala na 4 úrovních následující náročnost: 30 tisíc rovnic bylo vyřešeno za 6 minut a spotřebovalo 169 MB paměti, 226 tisíc rovnic za 8 minut s 592 MB paměti, 1.8 milionu rovnic za 26 minut s 3.9 GB paměti a 13,9 milionů rovnic za 3 hodiny 16 minut s 30.6 GB použité paměti. Výpočet je naprogramován v ANSI C++ a byl spuštěn na jednom z uzlů clusteru COMSIO na VŠB-TU Ostrava, který je osazen procesorem AMD Opteron 2210 HE a 32 GB paměti RAM.
Fotografie skutečného elektromagnetu - Maltézský kříž
Model elektromagnetu a odpovídajících polí - Maltézský kříž
Mikromechanika
Využití matematického modelování a výkonné paralelní výpočetní techniky umožňuje analýzu mechanických vlastností a optimalizaci materiálů se složitou vnitřní strukturou. Uvedeme dva příklady z oblasti biomechaniky a geomechaniky, které spolu souvisí z pohledu použití numerických metod a výkonné paralelní výpočetní techniky.
Při řešení ortopedických problémů je potřeba zjistit mechanické vlastnosti kostí. Ty jsou dány především složitou vnitřní strukturou, kterou lze zjistit počítačovou tomografií. Cesta k poznání mechanických vlastností kostí je potom taková, že na základě počítačové tomografie a známých vlastností jednotlivých komponent je vytvořen matematický model reprezentativního objemu, na který lze aplikovat různé typy zatížení a počítat odezvu. Tímto jsou nahrazeny klasické mechanické zkoušky materiálu.
Druhý příklad je z oblasti geotechniky. Pro zlepšení vlastností horninového materiálu lze použít injektáže, např. pomocí polyuretanových pryskyřic. Vlastnosti takto připraveného kompozitního materiálu (geokompozitu) lze opět studovat vytvořením matematického modelu reprezentativního objemu a aplikací různých typů zatížení. Takto lze i hledat nejvhodnější složení pryskyřice, zjistit citlivost na změnu složení, posoudit technologie injektování apod.
Struktura kosti, Struktura geokompozitu (uhlí a pryskyřice), Řez mikro MKP modelem, 6 milionů stupňů volnosti
Oba příklady vedou na řešení úloh teorie pružnosti metodou konečných prvků. Složitost úloh spočívá v tom, že je potřeba řešit problémy na velmi husté 3D (trojrozměrné) voxelové síti vedoucí až k desítkám či stovkám milionů stupňů volnosti. Pro řešení vznikajících soustav milionů rovnic jsou využity iterační metody, které vyžadují specifické techniky urychlení konvergence, a to jednak vzhledem k rozsáhlosti úloh a jednak vzhledem k složité heterogenní vnitřní stavbě. Počítačová realizace pak vyžaduje výkonnou multiprocesorovou výpočetní techniku, protože použití iteračních metod umožňuje účinnou paralelizaci výpočtu.
Modelování geokompozitů je tématem nového projektu GAČR, jehož řešení započalo na Ústavu geoniky AV ČR v roce 2009, hledání vhodných iteračních postupů probíhá již několik let v mezinárodní spolupráci Ústavu geoniky a Ústavu paralelních výpočtů BAS v Sofii, rozvíjí se i spolupráce s Univerzitou v Uppsale a ETH Zurich. Prof. Arbenz z ETH je jedním z pozvaných přednášejících, který bude o tématu přednášet na konferenci Modelling’2009, věnované právě matematickému modelování a výpočetním metodám a jejich aplikacím. Konference je pořádána ve spolupráci Ústavu geoniky AV ČR Ostrava, VŠB-TU Ostrava a mezinárodní společnosti IMACS v červnu 2009 v Rožnově p. Radhoštěm. Kontakt: Ústav geoniky AV ČR, prof. R. Blaheta.